Một số tác giả sử dụng thuật ngữ đa thức Faulhaber để chỉ một dạng đa thức tổng quát khác. Bản thân Faulhaber nhận xét rằng, nếu p lẻ thì tổng:

1 p + 2 p + 3 p + ⋯ + n p {\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\,}

là đa thức với biến là

a = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n . {\displaystyle a=1+2+3+\cdots +n.\,}

Ví dụ:

1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = a 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=a^{2}\,}

1 5 + 2 5 + 3 5 + ⋯ + n 5 = 4 a 3 − a 2 3 {\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4a^{3}-a^{2} \over 3}}

1 7 + 2 7 + 3 7 + ⋯ + n 7 = 12 a 4 − 8 a 3 + 2 a 2 6 {\displaystyle 1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={12a^{4}-8a^{3}+2a^{2} \over 6}}

1 9 + 2 9 + 3 9 + ⋯ + n 9 = 16 a 5 − 20 a 4 + 12 a 3 − 3 a 2 5 {\displaystyle 1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2} \over 5}}

1 11 + 2 11 + 3 11 + ⋯ + n 11 = 32 a 6 − 64 a 5 + 68 a 4 − 40 a 3 + 10 a 2 6 . {\displaystyle 1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={32a^{6}-64a^{5}+68a^{4}-40a^{3}+10a^{2} \over 6}.}

Trường hợp p = 3, còn được biết đến với tên gọi Định lý Nicomachus.

Các đa thức ở vế phải còn được gọi là đa thức Faulhaber với biến a. Chúng đều chia được cho a 2 bởi vì với j > 1 lẻ thì số Bernoulli Bj bằng 0.

Faulhaber đã biết rằng với bậc p lẻ, nếu tổng được viết dưới dạng:

∑ k = 1 n k 2 m + 1 = c 1 2 a 2 + c 2 3 a 3 + ⋯ + c m m + 1 a m + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}={\frac {c_{1}}{2}}a^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}a^{3}+\cdots +{\frac {c_{m}}{m+1}}a^{m+1}}

thì với bậc p chẵn tổng sẽ có dạng:

∑ k = 1 n k 2 m = n + 1 / 2 2 m + 1 ( c 1 a + c 2 a 2 + ⋯ + c m a m ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+1/2}{2m+1}}(c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots +c_{m}a^{m}).}

Vì a = n(n + 1)/2, nên với bậc p lẻ (lớn hơn 1), tổng là 1 đa-thức biến n có-chứa các nhân tử n2 and (n + 1)2, còn nếu p chẵn thì tổng sẽ là đa thức có chứa nhân tử n, n + ½ và n + 1.

Công thức Faulhaber có thể gặp trong tự nhiên. Ví dụ, số hiệu nguyên tử của các nguyên tố hóa học thuộc nhóm kim loại kiềm thổ (Be, Ca, Ba) thỏa-mãn công-thức (4/3)n(n + 1/2)(n + 1), với n là số thứ tự của các kim loại này trong nhóm.